Matek-Wigyorival
- Elmélet egyszerűen
- Számoljunk! - 5.
(n)Ilon Musk Hold-expedíciójának parancsnoka kétségbeesve suttog bele a komm-jába:
- Főnök!!! Ultra nagy gáz van!!! Leszálltak a kínaiak, és elkezdték átfesteni a holdfelszínt vörösre!!!
Erre Elon, totál lazán, szív egyet az óriási jointjából, és annyit mond:
- Helyes!
Eltelik pár óra, a kapitány megint bepánikol...
- Főnök!!! A rohadt kínaiak már a Hold felét vörösre festették!!!
Ilon, megint szív egy óriási slukkot, majd kifújva, annyit sóhajt:
- Helyes!
Jónéhány órával később a kapitány megint remegve jelenti:
- Főnök!!! Ezek a denevérzabálók az egész Holdat vörösre festették!!!
Egy újabb óriási slukk után Elon wigyorogva ennyit mond:
Helyes!!! Akkor most fogjátok a raktárból a fehér festéket, és fessétek rá, hogy "Coca-Cola"!!!
(egy régi vicc aktualizált verziója a 3. évezred hajnaláról)
Úgy vélem, 3-nál még senki sem sejtette, hogy 4-re már ennyire fajsúlyos lehet a számok mögöttes ámde valódi tartalma. Fokozzuk hát tovább az "5"-tel!!!
Szóval, az Ötös számmal megint egy fontos számhoz értünk!!! Alapesetben ennyi ujjunk van bármelyik kezünkön, tehát ezt még "egy kezemen meg tudom számolni". Másrészt ez a következő páratlan szám a "3" után. Nem nagy meglepetésünkre, az 5 a következő prímszám, sorban a harmadik.
Eddig nem sok szó esett a számok leírásáról. Mindegy, hogy melyik számrendszerben számolunk (2, 3, 10, 12, 16, stb..) pontosan annyi számjegyünk lesz, mint ahányas a számrendszer száma. Tehát Kettes Számrendszerben a 0 és az 1, Tizesben 0-tól 9-ig. (Itt is látható, hogy a 0 minden számrendszer alapvető alkotója!!!) Akkor, amikor egy szám leírásához "elfogynak" az alkotó számaink, nem esünk kétségbe, hanem Helyiértékeket kezdünk alkalmazni. Azaz több számot is leírunk egymás után.
Tizes számrendszerben jobbról balra a helyiértékek: az egyesek, tizesek, százasok, ezresek, tízezresek, százezresek, milliósok, stb. (a milliók után egyszerűbb normálalakban vagy "csak" milliókban számolni, ugyanis innentől más-más kifejezéseket használnak eltérő kultúrákban). Kettes számrendszerben ugyanígy jobbról balra a következők a helyiértékek: egyesek, kettesek, négyesek, nyolcasok, 16-osok, stb.
Az 5-ös szám oszthatósági szabálya ugyanaz, mint a 2-esé. Azaz nézzük meg az adott szám utolsó számjegyét! Ha az 5 vagy 0, akkor biztosak lehetünk benne, hogy az a szám az 5 többszöröse, azaz osztható 5-tel. Ha megnézzük a két kezünkön az ujjakat, akkor láthatjuk, hogy 2-szer 5 az 10!!! A 10-es oszthatósági szabálya is ugyanez: ha az utolsó szám 0, akkor osztható tízzel. A matematika szabályai miatt ennek a három számnak a hatványaira és a további oszthatóságra ugyanazok a szabályok érvényesek.
Lássuk, miről is beszélek! 2 a második hatványon az 4, ezt már tudjuk, az előző fejezetből. 5 a négyzeten az 25, 10 négyzete pedig 100. A 4, 25, 100 oszthatósági vizsgálatánál az utolsó 2 számjegyet kell nézni, hogy az osztható-e 4-gyel, 25-tel, illetve 100-zal. A 3. hatványoknál (tehát 8-nál, 125-nél és 1000-nél) pedig az utolsó 3 számjegyet vizsgáljuk.
A "3"-as oszthatóságát pedig már itt olvashattátok!!!
Most, hogy eljutottunk a 3. prímszámunkig, vizsgáljuk meg közelebbről az Egész Számok közötti Nem Túl Speciális Számokat: - a Törteket!!!
A matematika egyik nagy alaptétele, hogy ha egy problémára bármelyik szinten találsz megoldást, akkor azon a szinten több megoldást is találsz, tehát ellenőrizheted is magad!!! Szóval a Törtek...
A tört alapvetően 3 részből áll: alul van egy szám, ez a Nevező. Ez adja meg a Tört NEVÉT. Ennyi felé fogjuk osztani az 1 egészet. A felső szám a Számláló. Ez mondja meg, hogy hány darabot számolunk ebből a törtből. A kettő között pedig ott van a Törtvonal. A Törtvonal, tulajdonképpen osztást jelent. Épp ezért ne felejtsük el, hogy a törtvonal zárójelet is jelent! Tehát a Felső értéket, a Számlálót elosztjuk az alsóval, a Nevezővel.
Ennek a műveleti szintnek - Szorzás/Osztás - szabályai alapján, egy tört értéke akkor nem változik, ha a Számlálót és Nevezőt is ugyanannyival szorozzuk (bővítés), vagy osztjuk (egyszerűsítés). Arra kell figyelnünk, hogy csak Azonos Nevezőjű törteket tudunk összeadni vagy kivonni egymásból.
Ez tökéletesen logikus... elég nehéz 2/3 almából kivonni 3/7 diót!
Épp ezért, a törtek esetében meg kell találnunk a KÖZÖS nevezőt, ami a nevezők LegKisebb Közös Többszöröse. (az almával, meg a dióval kicsit más a helyzet... kis porcukorral jók lesznek Tölteléknek!😜)
A LKKT-t pedig úgy kapjuk meg, hogy a nevezők prímtényezős felbontásaiból az összes alapot az előforduló legnagyobb hatványkitevőn szorozzuk össze egymással!!! Ezután, a KÖZÖS Nevezőt használva csak a számlálókon végezzük el a műveletet!
Szorzás/Osztás esetében még egyszerűbb a helyzet! Mert a törtünk már eleve egy osztás! A törtszámok szorzatát mindig úgy számoljuk ki, hogy a Számlálókat is egymással, meg a Nevezőket is egymással szorozzuk össze. Mielőtt nekiesnénk a hosszas szorzásnak, először MINDIG egyszerűsítsünk!!! Azaz, a prímtényezős felbontás után egy-egy prímszámot a Számlálóból is és a Nevezőből is áthúzhatunk!
Természetesen, csinálhatjuk először a szorzásokat, de a kapott törtet mindig a legegyszerűbb alakban legcélszerűbb a későbbiekben használni.
Épp ezért, kényelmesebb az elején megszabadulni a felesleges prímtényezőktől. Ezért egyszerűsítünk a LegNagyobb Közös Osztóval (amit úgy kapunk meg, hogy a közös alapokat az előforduló legkisebb kitevőn szorozzuk össze).
Osztásnál csak annyi a dolgunk, hogy megfordítsuk az osztó Számlálóját és Nevezőjét - ezt nevezzük a RECIPROK-ának - és ezzel a Reciprokkal szorozzunk. (Egész számból az "1" segítségével csinálunk törtet, mert ugye az "1" az nem oszt, nem szoroz.)
Tehát: egy "bonyolultabb" törtes példánál a következő lépéseket kövessük!
1. Kezdjük (ha van) a zárójellel! A zárójel, ami mindent felülír! Kb. pont olyan, mint a Szeretet...
2. Az osztásokat átforgatjuk szorzássá Reciprokkal.
3. Megnézzük a szorzásoknál az előjelet. Páratlan számú negatív szorzás negatív marad, páros számú viszont átvált pozitívvá.
4. Egyszerűsítünk a szorzásoknál.
5. Elvégezzük a szorzásokat.
6. Ha csak összeadás/kivonás maradt, - azaz pozitív és negatív törtek - avagy a zárójel miatt kezdünk ezen a szinten, MINDENT közös nevezőre hozunk.
7. Külön összeadjuk az összes pozitív, majd az összes negatív törtet. Ezután elvégezzük a kivonást.
+1. Ha szükséges, térjünk vissza a 2-es ponthoz!
Ahogy azt a fejezet elején írtam, mi a 10-es számrendszert használjuk. Ha egy számot elosztunk egy másik számmal, akkor nem állunk meg, amikor elfogynak az egész számok, hanem kitesszük a "tizedes vesszőt"! Innentől balról jobbra haladva a helyiértékeknél a 10-es hatványai most a nevezőben lesznek.
Jönnek balról jobbra a tizedek, századok, ezredek, tízezredek, stb...
Miután, az Univerzumunkban Elképzelhetetlenül Hatalmas és Elképzelhetetlenül Apró méretekben, de ugyanaz a Számosság érvényesül, ezért a számokkal foglalkozók - a matematikusok - szeretnek Normál Alakban számolni. Ez azt jelenti, hogy egy olyan tizedes törtet, ahol az egyesek helyén egy 1 és 9 közötti egész számot követően a tizedes vessző után (valahány) tizedestörtet szorozzuk 10 akár pozitív, akár negatív hatványával (ami azt jelenti, hogy a 10 adott hatványa a nevezőben lesz).
Így tudjuk megvizsgálni az Elképzelhetetlenül Hatalmas és Elképzelhetetlenül Apró dolgok hatását egymásra.
Egy másik nagyon egyszerű ámde nagyon hatékony módja ezeknek az eltérő paraméterű "Dolgok" egymáshoz való viszonyulását érzékeltetni az a Százalékszámítás.
Nos. Nem kell túlbonyolítani a számolgatást. A "Százalék" ugyanis annyit jelent: "Századrész". Azaz nagyvonalúan levágtunk 2 0-t az esetleg túl hosszú egész számunkból. Vagy csak 2-vel balra toljuk a tizedes vesszőt. Azért Századrészt használunk, mert ez a 10 második hatványa. Tehát az 1 egészet százfelé osztjuk. Ebből 1 db, az 1%.
Ebből következik, hogy 15%=15/100=0,15. Valamint a 100%=100/100=1,00, azaz 1 Egész (lásd 1. fejezet).
Azt szoktam tanítani, hogy amikor egy szám bizonyos részét, vagy valahány százalékát keressük, akkor a művelet MINDIG szorzás. Azaz, pl.: 10-nek az egyötöde az 10*1/5, vagy 20-nak a 40%, az 20*40%=20*40/100=20*0,40(=8)
Ugyanakkor, ha azt keressük, hogy egy szám mekkora része, vagy hány százaléka egy másik számnak, akkor az első számot elosztjuk a második számmal. A tizedes tört formátumot pedig át tudjuk fordítani százalékos formába.
A százalékos lehetőségek kombinációját már jól ismerjük a sportfogadásból... ahol több szorzónál a végén egész komoly összeg lehet, ha jól tippeltünk.
A Törtünk osztást jelent, ami gakorlatilag az egyenes arányosságot jelenti. Osszuk el az 5-öt, (ami ugye 3+2?) 3:2 arányban. Tehát az 5-nek keressük a (3+2)/5 részét. Ha több szám arányáról beszélünk, pl: 3:1:1, akkor szintén össze kell adnunk ezeket a számokat, és az összegükkel osztani. Ez a geometriai feladatoknál hasznos ismeret.
Szóval, az egyenes arányosság egy tört, tehát akkor marad változatlan, ha mindkét számot ugyanannyival osztjuk vagy szorozzuk. Mindkét (vagy több) érték egyformán nő vagy csökken.
A fordított arányosságnál viszont amennyiszeresére nő az egyik érték, annyiadjára csökken a másik, mert ilyenkor a két érték szorzata lesz 1.
Úgy tűnik, az 5. fejezet kissé hosszúra sikeredett, úgyhogy a beígért "Dáridó"-t kicsit későbbre halasztjuk. Hamarosan folytatom.
Továbblépés a "6"-ra
Partnerek:
